Логопериодические осцилляции на бирже

logo oszijljaciiЛогопериодические осцилляции на валютном рынке – хороший инструмент предсказания будущих разладок ценового временного ряда, выражающихся в виде ценовых просадок или выбросов.

Применение теории бифуркаций к ценовым временным рядам позволяет подобрать алгоритм моделирования этих рядов, который точнее учитывает изменения в динамике валютной пары с учетом ее логочастотной модуляции.

В предыдущих работах [1, 2] показано, что время от времени на валютных рынках спонтанно возникают критические состояния, которые мы назвали локальной системной нестабильностью рынка. Эмпирически было установлено, что когда сила подражания К у трейдеров (т.е. кооперативность или согласованность игроков на рынке) приближается к своему критическому значению Кс, коэффициент риска разладки ценового временного ряда отклоняется с характерным для степенной зависимости поведением. Это приводит к специфическому ускорению курсовой динамики валютной пары по степенному закону, что дает нам первую предварительную модель предсказания разладки в виде ценовых просадок или выбросов.

И это все – вне зависимости от конкретной ценовой динамики валюты и ее отклонения от фундаментальной стоимости. Остановимся на этом важнейшем выводе подробнее.

Если исследуемый ценовой временной ряд надлежащим образом обработать, то при некоторых условиях можно с большой точностью оценить будущее значения ряда. Причем эта оценка представляет собой функцию только от предыдущих значений ряда! Закономерен вопрос: при каких условиях возможно динамическое моделирование некоторых ценовых рядов и успешное их прогнозирование?

Для ответа проследим за курсовыми изменениями нашей валютной пары со временем. В результате получим некоторую функцию. Если измерения производились по ценам закрытия на выбранной временной развертке, то эта функция примет дискретный ряд значений. Когда исследуемая система – детерминированная (или динамическая, т.е. описывается конечным набором обыкновенных дифференциальных уравнений), то наблюдаемая величина всегда будет функцией от ее фазовой точки.

Однако, как правило, заранее неизвестно, можно ли описать данный процесс динамически. Тем не менее, в рамках современной теории размерности и теории динамических систем можно отличить шум (случайный процесс) от детерминированного поведения и тем самым установить размерность фазового пространства рассматриваемого явления [3].

Но для начала нам необходимо понять, почему разладкам ценового ряда в виде просадок или выбросов часто предварительно сопутствует степенное ускорение цены исследуемой валютной пары. Оказывается, это тот случай, когда на деле проявляет себя одна из вездесущих симметрий – масштабная инвариантность.

О масштабной инвариантности

Масштабная инвариантность, или самоподобие, интегрирует такие важнейшие понятия, как фракталы, хаос и степенные законы. Самоподобие – одна из величайших симметрий, лежащих в основе наших попыток постичь многообразие финансовых рынков.

Понятие «симметрия» впервые было введено древними греками и означало «соразмерность» или «упорядоченность» исследуемого объекта. В настоящее время под этим термином мы понимаем тот факт, что объект остается неизменным (инвариантным) при каких-либо действиях с ним (обычно рассматривают отображения, вращения или перемещения).

Зеркальная, поворотная или трансляционная симметрии обнаружены в фундаментальных законах природы. Они позволили людям понять и объяснить структуру отдельных атомов, сложных молекул и целых кристаллических макрообъектов [4].

Если оглянуться на прошедшее столетие, то в нем можно выделить три основополагающих научных открытия.

– Теория относительности (1911 год), которая во многом обязана закону сохранения симметрии при прямолинейном равномерном движении; теория относительности позволила объединить пространство и время в единую четырехмерную систему и совершить переворот в нашем понимании мира.

– Квантовая механика (1954 г.), которая отметила инвариантность многих линейных преобразований микромира, но в то же время доказала несохранение четности (нарушение точечной симметрии) при «слабых» ядерных взаи модействиях.

– Теория динамического хаоса (1980 г.) и ее масштабная инвариантность, которую мы выше отождествили с самоподобием.

В настоящее время инвариантность при изменении размеров наблюдается буквально во всех нелинейных динамических системах (принадлежащих разнообразным областям знаний), в том числе тех, которые развиваются по степенным законам.

Если исследуемый динамический временной ряд (ценовой, например) развивается по степенному закону с показателем степени, отличным от единицы, то о периодической динамике – символе предсказуемости – не может быть и речи. Динамика такой системы становится крайне нерегулярной и обычно описывается законами хаоса. В таком случае эволюция курса исследуемого актива считается непрогнозируемой.

Тем не менее, существует один мощный инструмент – самоподобие (т.е. инвариантность при мультипликативных изменениях масштаба), которое позволяет отыскивать возможные траектории динамической системы даже в «тумане полного хаоса». Для этого часто используют одно из замечательных следствий масштабной инвариантности – существование фрактальных множеств. Они обладают тонкой структурой, в некоторых случаях позволяющих прогнозировать будущую динамику валютного рынка.

Как это делается, можно понять, если допустить, что масштабная инвариантность – это тоже периодичность, только в логарифмическом масштабе. Другими словами, самоподобие является обобщенным вариантом трансляционной симметрии (при замене переменной Х на lnX). При этом, по определению, измеряемая величина р (например, цена), которая является функцией переменной t (время), является инвариантной к масштабу времени при произвольном изменении t>?t, если существует число ?(?), при котором: р

р(t)=ψр(λt)     (1)

Последним выражением мы, по сути, определили динамику цены как однородную функцию времени t, что, естественно, встречается далеко не всегда. Но вблизи критической точки это допущение оправданно, поскольку аналогичными однородными функциями описывается подавляющее большинство физических явлений в этой точке, например, фазовые переходы жидкостей и т.д. [5]. Решением уравнения (1) является простая степенная функция р(t)=td, где показатель степени d – фрактальная размерность динамической системы, описываемая нашим временным ценовым рядом. Очевидно, что d можно определить по формуле:

d=lnψ/ln(1/λ).

Теперь становится понятно, почему степенные функции являются отличительным признаком самоподобия – так как величина р(λt)/р(t)=λd не зависит от t. Относительные значения цены нашего актива по двум разным масштабам зависят только от отношения этих двух масштабов. Это основное свойство, связывающее степенную зависимость с самоподобием, масштабной инвариантностью и критичностью [1-5].

Если снова вернуться к метафоре самоорганизующихся критических куч песка по Баку [2, 4], то можно обнаружить, что песчаные лавины во всех масштабах длины могут быть вызваны малыми локальными возмущениями, т.е. добавлением одной песчинки в случайно выбранной точке. Кластеризация таких точек и их размеры подчиняются степенной зависимости:

D(x)~x,

где τ≈1ля кластера х размером до 500 точек в массиве 50х50и ли τ≈1.35 для трехмерного кластера х в массиве 20х20х20 точек [4].

Время жизни таких лавин тоже следует степенным зависимостям с показателем степени α≈0.43 в двумерном случае и α≈0.9 – в трехмерном.

Пер Бак с коллегами обнаружили степенное поведение максимального размера кластеров, корреляционной длины, величины расхода песка и других параметров. В итоге было сделано предположение, что масштабная инвариантность степенных законов – универсальна.

Ограниченность вдали

Ограниченность уравнения (1) очевидна: оно определяет динамику цены в непосредственной близости от критической точки. Однако трейдерам валютного рынка хотелось бы иметь полный спектр свойств системы при приближении к критической точке tc, что позволило бы им прогнозировать сильные ценовые разладки временного ряда в виде просадок валютного курса или его выбросов [1-2].

И такую возможность нам дают новейшие наработки теории сложности, в частности в области вычислительной техники, называемой ренормгруппой (или группой перенормировок), а также комплексная фрактальная размерность ценового временного ряда, в особенности ее мнимая часть – она отвечает за логопериодические ценовые осцилляции.

Но для начала остановимся на другом важнейшем предвестнике критической точки временного ценового ряда – ограниченной во времени сингулярности при tc.

Ограниченная во времени сингулярность

Ранее [1-2] мы показывали, что сложная система (например, валютный рынок) становится критической, когда местные влияния (например, свинги на 15-минутной развертке) распространяются на длинные расстояния (на дневную развертку или даже недельную). При этом среднее состояние нашей динамической системы (рынка) становится весьма чувствительным к малому ценовому возмущению, т.е. различные инвестиционные горизонты стали высоко коррелированными. Другая характеристика – критические рынки становятся самоподобными на любом масштабе времени (на любом инвестиционном горизонте).

Критические точки описываются на математическом языке как сингулярности, связанные с теорией катастроф и бифуркаций. Теория катастроф изучает и классифицирует явления, характеризующиеся внезапными изменениями в поведении и являющиеся результатом мелкого изменения условий.

Катастрофы – это бифуркации между различными равновесными фазами или фиксированными точечными аттракторами динамических систем. В сущности, мы попытаемся определить возникновение спонтанной сингулярности при tc через временные ряды ценовых приращений и динамики коэффициентов риска краха [2, 5].

Рассмотрим бычий рынок на выбранном инвестиционном горизонте. Обычно можно наблюдать непостоянные темпы прироста доходности, которые сопровождаются увеличением приращения цены и коэффициента риска. Для простоты рассуждений предположим, что темп прироста доходности удваивается у нас, когда удваивается коэффициент риска. Если в начале процесса коэффициент риска равнялся R0, и на каждом новом баре выбранной временной развертки он прирастал на 1.5% до момента удвоения, то можно приблизительно оценить время такого удвоения как 1/1.5%хln2=46 баров [5]. Таким образом, через 46 баров коэффициент риска становится равным 2R0. С этого момента темп прироста удваивается и остается постоянным, пока уровень риска не достигнет величины 4R0. Это новое время удвоения примерно равно 1/3%хln2=23 барам.

При достижении уровня риска на нашем рынке 8R0 в модели потребуется еще меньшее число баров, равное примерно 11, т.е. коэффициент риска достигает заоблачных высот в конечное критическое время tc, которое в нашем случае примерно соответствует 46+23+11+…≈90 баров.

Обобщая все сказанное, можно заключить, что разладка ценового ряда в виде просадок или выбросов может быть порождена исключительно эндогенными факторами и независимо от поведения цены и ее отклонения от фундаментальной стоимости. Природа краха более тонка и постепенно создается рынком. При этом экзогенные воздействия (например, в виде вышедшей макроэкономической статистики) могут быть лишь инициирующим фактором. Это как нарыв на теле: ему нужно время, чтобы развиться, и еще время, чтобы созреть.

Таким образом, предвестники разладки ценового ряда могут быть расшифрованы во фрактальных геометрических объектах странных аттракторов исследуемого рынка.

Ренормгруппа на разных горизонтах

Теперь для предсказания динамики рынка необходимо вернуться к уравнению (1) и попытаться понять, какая часть точной симметрии масштабной инвариантности сохраняется при приближении к критической точке (моменту разладки ценового ряда). Ответ лежит в новой концепции, называемой ренормгруппой.

Эта вычислительная техника сегодня стала настолько мощным аппаратом, что позволила понять многие явления физики в области критических состояний (недаром за открытие этого аналитического инструмента физику К. Уилсону в 1982 г. была присуждена Нобелевская премия). Ренормгруппа выражает на математическом языке следующую концепцию: общее поведение динамической системы является объединением множества произвольно определенных подсистем, где каждая из них определяется объединением еще меньших подсистем и т.д.

На FOREX мы также имеем сингулярное, зависящее от времени решение группы перенормировки [5]. Это следует из того, что непосредственно в критической точке инвариантность шкалы выполняется точно. Она нарушается либо на самом маленьком инвестиционном горизонте, соответствующем 1-минутной развертке, или в самом большом масштабе, соответствующем конечному размеру системы. Между этими ограничивающими масштабами валютный рынок как динамическая система является фрактальным. Такая процедура описания верна не только в критической точке, но и на подходе к ней (с точностью до корреляционной длины, которая и определяет тот уровень масштаба, что и конечный размер исследуемой динамической системы). В таком случае именно корреляционная длина на выбранном инвестиционном горизонте и явится размером самой большой группы перенормировки. На этой длине локальные подражания трейдеров распространяются прежде, чем рыночный шум задавит их и сделает блуждания цены случайными.

Это значит, что формула (1), свидетельствующая о точной инвариантности шкалы, должна быть скорректирована. Ренормгруппа показывает, чего не хватает в правой части этого уравнения: обычно добавляют простую косинусоиду, которая и несет в себе действие степеней свободы на малых масштабах на следующем, большем масштабе, когда мы огрубляем систему, сокращая эффективное число трейдеров рынка.

В реальности на графике цены исследуемой валютной пары присутствует бесконечно разветвленный набор промежуточных трендов, концентрирующихся по мере приближения критического времени tc. Как мы говорили выше, обычно это степенная функция (на глубоком инвестиционном горизонте) с шумом. На более мелких инвестиционных горизонтах можно уже указанный шум рассматривать как наложение логопериодических осцилляций: cos(2πLn(tc–t)/Ln2) [5].

Мнимая часть и логопериодичность

Интуитивно понятно, что присутствие в исследуемой системе логопериодических осцилляций ослабляют масштабную инвариантность. Она сохраняется только в конечном наборе коэффициентов масштабирования. В таком случае говорят о дискретной масштабной инвариантности.

Таким образом, характерным признаком самоподобия являются степенные зависимости с показателем степени, равным фрактальной размерности динамической системы d, причем d – действительное число. Если же фрактальная размерность – комплексное число (d=Red+Imd), то и тогда будет наблюдаться степенная зависимость согласно действительной части d (Red). А вот мнимая часть фрактальной размерности (Imd) будет отвечать за логопериодические осцилляции цены актива, которые накладываются на степенную функцию, тем самым снижая симметрию самоподобия до локальной масштабной инвариантности.

Мнимая часть фрактальной размерности (или логопериодичность) несет в себе большой практический смысл в плане дальнейших возможностей предсказания эволюции рынка. И это неудивительно, т.к. из радиофизики известно, что синхронизация сигнала позволяет извлекать полезный слабый сигнал даже из сильного шума и помех. Метафоричность здесь довольно проста: электромагнитная волна также представляется как колебательная система с частотой в виде комплексного числа, реальная часть которого отвечает за амплитуду волны, а мнимая – характеризует фазу волны.

Если в ценовых временных рядах присутствует логопериодичность, то вычислить момент tc можно путем простой экстраполяции ускорения частоты таких колебаний.

Итак, в нашем случае логопериодичность означает наличие периодичности исследуемого курса валютной пары как функции от логарифма ln(tc–t), т.е. длительности от времени t до некоторого критического tc, причем t‹tc. Периодичность зависимости цены от переменной ln(tc–t) подразумевает существование иерархии характерных временных масштабов t0‹t1‹t2‹…‹tn‹tn+1‹…, соответствующих, например, периодическим экстремумам цены как функции времени, задаваемой выражением [5]: tn=tc–(tc–t0)xλ-n,

где λ – предпочтительный дискретный масштабный коэффициент – см. формулу (1), – лежащий в основе дискретной масштабной инвариантности.

Сразу видно, что интервалы tn+1–tn→0 при росте n и tn→tc. При этом критическое время tcможно вычислить из трех рассмотренных значений tn по формуле:

tc=(tn+12–tn+2хtn)/(2tn+1–tn–tn+2).

Помимо прочего, мы можем диагностировать любой последующий рыночный экстремум, если нам известны три предыдущих:

tn+3=(tn+1 2+tn+2 2–tn+2хtn–tn+2хtn+1)/(tn+1–tn).

Если в качестве примера рассмотреть рынок NZD/USD (рис. 1), то мы даже невооруженным взглядом можем увидеть ценовое ускорение с зимы 2006 г. по 29.03.06 г. Эту курсовую динамику наилучшим образом можно параметризовать с помощью степенной функции [5]:

F(t)=A1+B1x(tc–t0)m1

где tc есть время, когда аппроксимация новозеландского доллара степенной функцией показывает отклонение, которое предсказывает разладку ценового ряда. Здесь же вычисляется среднеквадратичное отклонение между ходом смоделированной кривой и реальной ценовой динамикой (квадрат этой ошибки обозначается как var).

Важнейшей особенностью курсового ускорения исследуемого актива является наличие осцилляций с частотой, которая ускоряется по мере приближения момента катастрофы. Подгонку таких осцилляций можно сделать с помощью степенной функции, содержащей логопериодический компонент:

F(t)=A2+B2x(tc–t0)m2х[1+ Cxcos(2πLn(tc–t)/Ln2)] (3)

Наилучшим соответствием для степенного закона (1) является кривая с показателем степени d = -1.8.

 

Для рынка NZD/USD в исследуемый период времени подбором параметров A1, B1, m1 и tcудалось получить наилучшее соответствие между смоделированной кривой и реальным рынком для степенного закона (2) – см. рисунок 1. Здесь же показан ход смоделированной кривой за счет подбора и оптимизации параметров A2, B2, m2 и tc. Применение теории бифуркаций с ее усовершенствованным математическим подходом позволяет лучше подогнать формулу (3) простого логопериодического степенного закона. Как видно из рисунка 2, новый алгоритм точнее учитывает изменения в динамике нашей валютной пары с учетом ее логочастотной модуляции.

 

Таким образом, логопериодические осцилляции на валютном рынке являются хорошим инструментом предсказания будущих разладок ценового временного ряда, выражающихся в виде ценовых просадок или выбросов. Как будет показано в следующих публикациях, этот механизм прогнозирования может быть существенно улучшен с привлечением анализа динамики опционного рынка на исследуемый базисный актив.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *